Calculadora de integrales definidas
Calcula el área bajo una curva entre dos límites mediante la regla de Simpson.
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En resumen
- Qué calcula
- Calcula el área bajo una curva entre dos límites mediante la regla de Simpson.
- Fórmula aplicada
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) · [f(a) + 4·Σf(impares) + 2·Σf(pares) + f(b)]- Ejemplo
- ∫₀³ (x² + 1) dx
Calculadora de integrales definidas
Esta calculadora resuelve integrales definidas, es decir, el valor numérico del área encerrada entre la función y el eje X en un intervalo.
No devuelve la primitiva simbólica: devuelve el número, que es lo que se necesita en la mayoría de aplicaciones prácticas.
Cómo funciona
Se aplica la regla de Simpson compuesta, que aproxima la función por parábolas en cada par de subintervalos. Con 1000 subintervalos el error suele ser despreciable para funciones suaves.
Si la función corta el eje X dentro del intervalo, las áreas por debajo restan.
Fórmula
∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (h/3) · [f(a) + 4·Σf(impares) + 2·Σf(pares) + f(b)]
con h = (b − a) / n y n par
Valor medio: (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Ejemplo resuelto
∫₀³ (x² + 1) dx
Primitiva: x³/3 + x
Evaluada: (27/3 + 3) − 0 = 12
La regla de Simpson devuelve 12,00000000
Explicación
Una integral es un área acumulada
Sumar infinitos rectángulos infinitamente estrechos bajo una curva da su área. Esa idea, que parece un juego, resulta ser la operación inversa de derivar, y esa conexión es el teorema fundamental del cálculo: uno de los resultados más importantes de la historia de las matemáticas.
Qué se acumula en la práctica
Si la curva representa velocidad, el área bajo ella es la distancia recorrida. Si representa caudal, es el volumen total. Si representa potencia, es la energía consumida. Cualquier magnitud que se obtenga acumulando otra a lo largo del tiempo es una integral.
Por qué se calcula por aproximación
Muchas funciones perfectamente normales no tienen primitiva expresable con funciones elementales. La campana de Gauss es el ejemplo célebre: la estadística entera depende de su integral, y hay que calcularla numéricamente. Por eso existen métodos como el de Simpson, que aproxima la curva con parábolas.
Área con signo
Lo que queda por debajo del eje horizontal cuenta como negativo. Si buscas el área geométrica total y la función cruza el eje, hay que separar los tramos y sumar los valores absolutos, o el resultado saldrá menor de lo esperado.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el número de subintervalos debe ser par?
La regla de Simpson agrupa los puntos de dos en dos para ajustar una parábola en cada tramo. Si introduces un número impar, se ajusta automáticamente.
¿Sirve para integrales impropias?
No. Los límites deben ser finitos y la función debe estar definida en todo el intervalo.
¿Por qué mi integral sale negativa?
Porque la función pasa por debajo del eje horizontal en parte del intervalo. La integral cuenta esa área como negativa; para el área geométrica hay que separar los tramos.
¿Qué relación hay entre derivar e integrar?
Son operaciones inversas. El teorema fundamental del cálculo establece que integrar una función y luego derivar el resultado devuelve la función original.
¿Quieres calcular otra cosa?
Estas herramientas suelen usarse junto a esta calculadora.
Derivadas
Deriva funciones de forma simbólica y evalúa la derivada en un punto concreto.
Científica
Trigonometría, logaritmos, exponenciales y factoriales con elección entre grados y radianes.
Promedio
Pega tu lista de números y obtén media, mediana, moda, rango y desviación estándar.
Áreas
Calcula el área y el perímetro de cuadrados, círculos, triángulos, trapecios y elipses.
Calculadora
Escribe la operación completa y obtén el resultado al instante, con paréntesis y funciones.
Porcentajes
Los cuatro cálculos de porcentaje más habituales en una sola herramienta.