Calculadora de derivadas
Derive funções de forma simbólica e avalie a derivada num ponto concreto.
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Em resumo
- O que calcula
- Derive funções de forma simbólica e avalie a derivada num ponto concreto.
- Fórmula aplicada
(f + g)′ = f′ + g′- Exemplo
- f(x) = x³ − 4x + sin(x)
Calculadora de derivadas
A derivação é feita de forma simbólica: o resultado é outra função, não um número aproximado.
Aplicam-se as regras do produto, do quociente e da cadeia, então dá para derivar expressões aninhadas como sin(x^2).
Como funciona
A função é convertida numa árvore de operações e aplica-se a regra correspondente a cada nó. Depois o resultado é simplificado, removendo somas com zero e produtos por um.
Se indicar um ponto, f e f′ são avaliadas nesse valor.
Fórmula
(f + g)′ = f′ + g′
(f · g)′ = f′·g + f·g′
(f / g)′ = (f′·g − f·g′) / g²
(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Exemplo resolvido
f(x) = x³ − 4x + sin(x)
f′(x) = 3x² − 4 + cos(x)
f″(x) = 6x − sin(x)
Em x = 2: f′(2) = 12 − 4 + cos(2) = 7,5839
Explicação
O que mede uma derivada
É o declive da curva num ponto concreto, ou dito de outro modo, a velocidade a que muda uma grandeza em relação a outra. Se a função descreve uma posição, a sua derivada é a velocidade e a segunda derivada a aceleração.
Onde aparece fora da matemática
O custo marginal em economia é a derivada do custo total em relação à quantidade produzida. A velocidade de uma reação química é uma derivada. Qualquer pergunta que comece por «a que ritmo muda» é uma derivada disfarçada.
Máximos e mínimos
Onde a derivada vale zero, a curva tem uma tangente horizontal: um pico, um vale ou um ponto de inflexão. É a base de quase todos os problemas de otimização.
Derivar é mecânico, integrar não
Toda a função elementar se pode derivar aplicando regras de forma sistemática. Integrar é outra história: há funções simples cuja primitiva não se pode exprimir com funções elementares.
Perguntas frequentes
Que funções consegue derivar?
Polinômios, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas diretas e inversas, hiperbólicas e raízes, além de qualquer composição entre elas.
Posso derivar em relação a outra letra?
Sim. Altere o campo «Variável» para a letra que usar, por exemplo t.
Para que serve a segunda derivada?
Indica a concavidade da curva e ajuda a distinguir um máximo de um mínimo. Em física, a segunda derivada da posição é a aceleração.
Por que integrar é mais difícil que derivar?
Porque derivar segue regras sistemáticas que sempre funcionam, enquanto muitas funções não têm primitiva exprimível com funções elementares.
Quer calcular outra coisa?
Estas ferramentas costumam ser usadas junto com esta calculadora.
Integrais
Calcule a área sob uma curva entre dois limites pela regra de Simpson.
Científica
Trigonometria, logaritmos, exponenciais e fatoriais, com escolha entre graus e radianos.
Equação quadrática
Resolve ax² + bx + c = 0 com o delta, as duas raízes e o vértice da parábola.
Logaritmos
Calcule o logaritmo em qualquer base e obtenha também ln, log₁₀ e log₂.
Calculadora
Digite a operação inteira e receba o resultado na hora, com parênteses e funções.
Porcentagem
Os quatro cálculos de porcentagem mais comuns numa única ferramenta.