Calculateur de dérivées
Dérivez des fonctions de façon symbolique et évaluez la dérivée en un point donné.
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En bref
- Ce qu’il calcule
- Dérivez des fonctions de façon symbolique et évaluez la dérivée en un point donné.
- Formule appliquée
(f + g)′ = f′ + g′- Exemple
- f(x) = x³ − 4x + sin(x)
Calculateur de dérivées
La dérivation est symbolique : le résultat est une autre fonction, pas une valeur approchée.
Les règles du produit, du quotient et de la chaîne sont appliquées, ce qui permet de dériver des expressions imbriquées comme sin(x^2).
Comment ça marche
La fonction est transformée en arbre d'opérations et la règle adéquate est appliquée à chaque nœud. Le résultat est ensuite simplifié en supprimant les additions de zéro et les multiplications par un.
Si vous indiquez un point, f et f′ y sont évaluées.
Formule
(f + g)′ = f′ + g′
(f · g)′ = f′·g + f·g′
(f / g)′ = (f′·g − f·g′) / g²
(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Exemple résolu
f(x) = x³ − 4x + sin(x)
f′(x) = 3x² − 4 + cos(x)
f″(x) = 6x − sin(x)
En x = 2 : f′(2) = 12 − 4 + cos(2) = 7,5839
Explication
Ce que mesure une dérivée
C'est la pente de la courbe en un point donné, autrement dit la vitesse à laquelle une grandeur varie par rapport à une autre. Si la fonction décrit une position, sa dérivée est la vitesse et sa dérivée seconde l'accélération.
Où on la rencontre hors des mathématiques
Le coût marginal en économie est la dérivée du coût total par rapport à la quantité produite. La vitesse d'une réaction chimique est une dérivée. Toute question commençant par « à quel rythme cela change-t-il » cache une dérivée.
Maxima et minima
Là où la dérivée s'annule, la courbe a une tangente horizontale : un sommet, un creux ou un point d'inflexion. C'est la base de presque tous les problèmes d'optimisation.
Dériver est mécanique, intégrer non
Toute fonction élémentaire se dérive par application systématique de règles. L'intégration est autre chose : certaines fonctions simples n'ont pas de primitive exprimable élémentairement.
Questions fréquentes
Quelles fonctions peut-elle dériver ?
Polynômes, exponentielles, logarithmes, fonctions trigonométriques directes et inverses, hyperboliques et racines, ainsi que toute composition.
Puis-je dériver par rapport à une autre lettre ?
Oui. Modifiez le champ « Variable » avec la lettre utilisée, par exemple t.
À quoi sert la dérivée seconde ?
Elle indique la concavité de la courbe et distingue un maximum d’un minimum. En physique, la dérivée seconde de la position est l’accélération.
Pourquoi intégrer est-il plus difficile que dériver ?
Parce que la dérivation suit des règles systématiques, alors que beaucoup de fonctions n’ont pas de primitive exprimable en fonctions élémentaires.
Envie de calculer autre chose ?
Ces outils sont souvent utilisés avec cette calculatrice.
Intégrales
Calculez l’aire sous une courbe entre deux bornes avec la méthode de Simpson.
Scientifique
Trigonométrie, logarithmes, exponentielles et factorielles, avec choix degrés ou radians.
Second degré
Résolvez ax² + bx + c = 0 avec le discriminant, les deux racines et le sommet de la parabole.
Logarithmes
Calculez le logarithme dans n’importe quelle base et obtenez aussi ln, log₁₀ et log₂.
Calculatrice
Saisissez l’opération entière et obtenez le résultat immédiatement, parenthèses et fonctions comprises.
Pourcentage
Les quatre calculs de pourcentage les plus courants dans un seul outil.