Calculadora de qui-quadrado: independência e aderência

Name: Calculadora de qui-quadrado
Author: Richard Injante

Teste do qui-quadrado de tabelas de contingência e de aderência, com V de Cramér, resíduos, Yates e teste exato de Fisher.

Conteúdo revisto por Richard Injante Editado por SolucionesAhora.com Atualizado em 20/10/2026 Como verificamos

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O que quer verificar?

«Independência» serve para ver se duas variáveis categóricas estão relacionadas (por exemplo, tratamento e melhora): introduz-se uma tabela de contingência. «Aderência» serve para ver se uma só variável se distribui como esperava (um dado equilibrado, uma proporção genética…): introduzem-se as contagens de cada categoria.

Tabela de frequências observadas

Uma linha por categoria da primeira variável e uma coluna por categoria da segunda, com o número de casos de cada combinação. Devem ser contagens inteiras, não percentagens. Pode pôr os nomes das colunas na primeira linha. Exemplo 2×2: «30 20» e «15 35» significa que, no primeiro grupo, 30 casos melhoram e 20 não; no segundo, 15 e 35.

Uma linha por linha, contagens separadas por espaços

Contagens observadas por categoria

O número de casos observados em cada categoria, por ordem e separados por espaços. Devem ser inteiros, não percentagens. Exemplo: 315 108 101 32.

Um número por categoria

Proporções esperadas (opcional) (opcional)

Quanto espera em cada categoria, na mesma ordem. Servem proporções (9 3 3 1), percentagens (50 30 20) ou contagens: reescalam-se para somarem o total observado. Se deixar vazio, espera-se o mesmo número em todas (por exemplo, um dado equilibrado).

Vazio = todas as categorias por igual

Ver o resultado

Resultados

Qui-quadrado (χ²)9,091

Valor pp = 0,003

Graus de liberdade1

Total de casos (N)100

V de Cramér (tamanho do efeito)0,302

Frequência esperada mínima22,50

% de células com esperado < 50

χ² com correção de Yates (2×2)7,919

Valor p com Yatesp = 0,005

Valor p exato de Fisher (2×2)p = 0,005

Odds ratio (2×2)3,50

Odds ratio: IC 95 % inferior1,53

Odds ratio: IC 95 % superior8,01

Frequências esperadas se fossem independentes
Linha	C1	C2
Linha 1	22,5	27,5
Linha 2	22,5	27,5

Resíduos padronizados ajustados (mais de ±2 destacam)
Linha	C1	C2
Linha 1	3,015	-3,015
Linha 2	-3,015	3,015

Observado e esperado
Categoria	Observado	Esperado
L1·C1	30	22,5
L1·C2	20	27,5
L2·C1	15	22,5
L2·C2	35	27,5

Ver o cálculo passo a passo

N = 100; frequência esperada mínima = 22,50

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Em resumo

O que calcula: Teste do qui-quadrado de tabelas de contingência e de aderência, com V de Cramér, resíduos, Yates e teste exato de Fisher.
Fórmula aplicada: Esperado = (total linha × total coluna) / N
Exemplo: Exemplo 1. Um tratamento novo frente ao habitual (tabela 2×2).

Calculadora de qui-quadrado

O qui-quadrado (χ²) compara o que observou com o que seria de esperar por puro acaso. Com uma tabela de contingência responde a «estas duas variáveis estão relacionadas?» (o tratamento influencia a melhora? o sexo, a preferência?). Com as contagens de uma só variável responde a «distribui-se como esperava?» (um dado, uma proporção genética).

Escreva as suas contagens e obterá a estatística, o valor p, o tamanho do efeito, as frequências esperadas e os resíduos que mostram que células explicam o resultado. Em tabelas 2×2 juntam-se a correção de Yates, o teste exato de Fisher e o odds ratio. Tudo no seu navegador.

Como funciona

Para cada célula calcula-se quantos casos se esperariam se as variáveis fossem independentes (total da linha × total da coluna ÷ N) e soma-se a diferença ao quadrado entre o observado e o esperado, dividida pelo esperado. Quanto maior esse χ², mais o observado se afasta da independência.

O valor p sai da distribuição qui-quadrado com (linhas − 1) × (colunas − 1) graus de liberdade. Como o χ² cresce com o tamanho da amostra, o tamanho do efeito (V de Cramér, ou w de Cohen na aderência) diz se a diferença é grande ou apenas detetável.

Fórmula

Esperado = (total linha × total coluna) / N
χ² = Σ (observado − esperado)² / esperado
gl = (linhas − 1) × (colunas − 1) [aderência: categorias − 1]
V de Cramér = √( χ² / (N · min(linhas − 1, colunas − 1)) )
w de Cohen (aderência) = √( χ² / N )
Yates (2×2): χ² = Σ (|observado − esperado| − 0,5)² / esperado
Resíduo padronizado ajustado = (O − E) / √( E · (1 − linha/N) · (1 − coluna/N) )
Odds ratio (2×2) = (a·d) / (b·c); IC 95 % = exp( ln(OR) ± 1,96 · √(1/a + 1/b + 1/c + 1/d) )

Exemplo resolvido

Exemplo 1. Um tratamento novo frente ao habitual (tabela 2×2).
Tratamento A: 30 melhoram e 20 não. Tratamento B: 15 melhoram e 35 não. Esperavam-se 22,5 por célula. χ²(1) = 9,09, p = 0,0026; com Yates, χ² = 7,92 (p = 0,0049); teste exato de Fisher, p = 0,0046. V de Cramér = 0,30 (efeito médio). O odds ratio é 3,5 (IC 95 % de 1,53 a 8,01): a melhora é cerca de três vezes e meia mais provável (em odds) com A.

Exemplo 2. Escolaridade e rendimento (tabela 3×3).
Com as linhas 45 20 10 / 25 40 30 / 10 30 60 (N = 270): χ²(4) = 66,61, p < 0,001, V = 0,35. Os resíduos dizem onde está a associação: +6,8 em «escolaridade baixa com rendimento baixo» e +6,0 em «alta com alto», −5,0 e −5,4 nos cantos opostos.

Exemplo 3. Poucos dados: a senhora do chá (Fisher, 1935).
Uma pessoa prova 8 chávenas e acerta 3 das 4 em que se pôs primeiro o leite e 3 das 4 em que se pôs primeiro o chá: tabela 3 1 / 1 3. O χ² dá p = 0,157, mas a frequência esperada mínima é 2, pelo que não é fiável. O teste exato de Fisher dá p = 0,486: com tão poucos dados, acertar assim não prova nada.

Exemplo 4. Aderência: as plantas de Mendel.
Mendel obteve 315, 108, 101 e 32 plantas nas quatro classes; a teoria prevê 9:3:3:1. Com N = 556: χ²(3) = 0,470, p = 0,925, w = 0,03. Os dados são totalmente compatíveis com a proporção esperada.

Explicação

O que verifica o qui-quadrado

O teste compara contagens (frequências) observadas com as que haveria sob uma hipótese: que duas variáveis sejam independentes, ou que uma variável siga uma distribuição concreta. Serve sempre com variáveis **categóricas** (sim/não, grupos, categorias), nunca com médias nem com percentagens soltas.

Os dois testes

**Independência**: uma tabela de contingência (linhas × colunas). Pergunta se a distribuição numa variável depende da outra.
**Aderência**: as contagens de uma só variável frente a umas proporções esperadas (iguais, ou as que indicar).

Como ler o resultado

**Valor p**: a probabilidade de ver diferenças tão grandes ou maiores se de facto não houvesse relação. Abaixo de 0,05 costuma falar-se de resultado significativo.
**V de Cramér**: o tamanho do efeito, de 0 a 1. Os limiares de Cohen (0,1 pequeno, 0,3 médio, 0,5 grande) dividem-se pela raiz do menor de (linhas − 1) e (colunas − 1) em tabelas maiores do que 2×2.
**Resíduos padronizados ajustados**: indicam que células contribuem mais. Passados ±2 chamam a atenção; passados ±3, muito.

Quando é fiável

A aproximação precisa de frequências **esperadas** suficientes. A regra de Cochran: nenhuma abaixo de 1 e não mais de 20 % abaixo de 5. Se não se cumpre, agrupe categorias ou, numa tabela 2×2, use o teste exato de Fisher, que não depende dessa aproximação.

Yates e Fisher em tabelas 2×2

A correção de Yates subtrai 0,5 a cada diferença para compensar que as contagens são discretas; é conservadora e muitos autores já não a recomendam quando as frequências esperadas são altas. Com amostras pequenas, o teste exato de Fisher é a referência.

Erros frequentes

Introduzir percentagens ou médias em vez de contagens.
Usar o qui-quadrado com dados emparelhados (antes e depois nas mesmas pessoas): aí corresponde o teste de McNemar.
Contar a mesma pessoa várias vezes: as observações devem ser independentes.
Tomar «significativo» por «grande»: com muitos casos, uma associação mínima sai significativa.
Ficar com o valor p e esquecer o tamanho do efeito e os resíduos.

Limites desta calculadora

Não faz McNemar, Cochran-Armitage nem o teste de Fisher em tabelas maiores do que 2×2.
O teste exato de Fisher é para 2×2 de até 100.000 casos; usa o critério das probabilidades menores ou iguais.
O odds ratio de uma tabela 2×2 com alguma célula a zero calcula-se somando 0,5 a todas (Haldane); o intervalo usa a aproximação de Woolf.
Admite tabelas de até 20 × 20 e até 200 categorias na aderência.
O V de Cramér não leva correção de viés.

Aviso

O resultado é uma estimativa. Para uma publicação, confira os números com o seu pacote estatístico e relate o χ², os graus de liberdade, o tamanho da amostra e o tamanho do efeito.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre independência e aderência?

A independência usa uma tabela com duas variáveis e pergunta se estão relacionadas. A aderência usa uma só variável e pergunta se se distribui como esperava.

O que faço se alguma frequência esperada for menor que 5?

A aproximação perde validade. Agrupe categorias ou, se for uma tabela 2×2, use o teste exato de Fisher, que aparece junto ao χ².

Quando uso a correção de Yates?

Só em tabelas 2×2 e sobretudo com amostras pequenas. É conservadora; com frequências esperadas altas quase não muda o resultado.

Um qui-quadrado significativo indica causalidade?

Não. Só indica que as variáveis não são independentes. A direção e a causa exigem outro delineamento ou análise.

O que é o V de Cramér?

Uma medida de 0 a 1 da força da associação, independente do tamanho da amostra. Serve para saber se uma diferença significativa é também importante.

Posso usar percentagens em vez de contagens?

Não: o qui-quadrado precisa das contagens reais, porque o tamanho da amostra entra no cálculo. Converta as percentagens em contagens.

O que significam os resíduos padronizados?

Quanto cada célula se desvia do esperado, em desvios-padrão. Além de ±2 a célula destaca-se: é aí que está a associação.

Os meus dados são enviados a um servidor?

Não. O cálculo faz-se no seu navegador.

Fontes e referências

A fórmula desta calculadora não é invenção nossa. Estas são as fontes de onde vem, em formato APA 7, caso queira ir ao original ou citá-las num trabalho.

Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175. https://doi.org/10.1080/14786440009463897 https://doi.org/10.1080/14786440009463897 O artigo que introduziu o teste do qui-quadrado.
Yates, F. (1934). Contingency tables involving small numbers and the χ² test. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society, 1(2), 217–235. https://doi.org/10.2307/2983604 https://doi.org/10.2307/2983604 A correção de continuidade para tabelas 2×2.
Cochran, W. G. (1954). Some methods for strengthening the common χ² tests. Biometrics, 10(4), 417–451. https://doi.org/10.2307/3001616 https://doi.org/10.2307/3001616 A regra das frequências esperadas (não mais de 20 % abaixo de 5).
Haberman, S. J. (1973). The analysis of residuals in cross-classified tables. Biometrics, 29(1), 205–220. https://doi.org/10.2307/2529686 https://doi.org/10.2307/2529686 Os resíduos padronizados ajustados.
Cohen, J. (1988). Statistical power analysis for the behavioral sciences (2.ª ed.). Lawrence Erlbaum Associates. O w de Cohen e os seus limiares de 0,1, 0,3 e 0,5.

Quer calcular outra coisa?

Estas ferramentas costumam ser usadas junto com esta calculadora.