Calculateur du plus grand commun diviseur
Trouvez le PGCD de deux nombres entiers ou plus avec l’algorithme d’Euclide.
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En bref
- Ce qu’il calcule
- Trouvez le PGCD de deux nombres entiers ou plus avec l’algorithme d’Euclide.
- Formule appliquée
pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b)- Exemple
- PGCD de 48, 60 et 72
Calculateur de PGCD
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise exactement toutes les valeurs saisies. C'est la clé pour simplifier des fractions et répartir des quantités en groupes égaux.
Saisissez autant de nombres que nécessaire, séparés par des virgules ou des espaces.
Comment ça marche
On applique l'algorithme d'Euclide : le couple (a, b) est remplacé par (b, reste de a divisé par b) jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier diviseur non nul est le PGCD.
Avec plus de deux nombres, le calcul se fait par paires successives.
Formule
pgcd(a, b) = pgcd(b, a mod b)
pgcd(a, 0) = a
pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c)
Exemple résolu
PGCD de 48, 60 et 72
1. pgcd(48, 60) : 60 = 48 + 12 → pgcd(48, 12) = 12
2. pgcd(12, 72) = 12
Résultat : 12
Explication
Simplifier des fractions est son usage le plus courant
Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD met la fraction sous forme irréductible en une seule étape. Quatre-vingt-quatre sur cent vingt a un PGCD de douze et se simplifie directement en sept dixièmes.
L'algorithme d'Euclide a plus de deux mille ans
Il figure dans les Éléments d'Euclide et reste la méthode la plus efficace. On divise le plus grand par le plus petit et l'on garde le reste, jusqu'à obtenir zéro. Il sert encore en cryptographie moderne.
Nombres premiers entre eux
Quand le PGCD vaut un, les nombres ne partagent aucun facteur. Cela ne signifie pas qu'ils soient premiers : huit et neuf sont premiers entre eux sans être premiers.
Répartitions exactes
C'est l'outil pour diviser des quantités différentes en groupes égaux les plus grands possibles.
Questions fréquentes
À quoi sert le PGCD ?
À simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par lui, et à répartir des quantités en un maximum de groupes égaux.
Et si les nombres n’ont aucun diviseur commun ?
Le PGCD vaut 1 et l’on dit que les nombres sont premiers entre eux.
Que signifie « premiers entre eux » ?
Que leur PGCD vaut un : ils ne partagent aucun facteur. Cela n’implique pas qu’ils soient premiers.
À quoi sert l’algorithme d’Euclide ?
À trouver le PGCD efficacement sans factoriser. Il sert encore en cryptographie moderne.
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