Nombres premiers et factorisation
Vérifiez si un nombre est premier et décomposez-le en facteurs premiers.
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En bref
- Ce qu’il calcule
- Vérifiez si un nombre est premier et décomposez-le en facteurs premiers.
- Formule appliquée
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ- Exemple
- 360 = 2³ × 3² × 5
Vérificateur de nombres premiers
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : un et lui-même. Tout autre nombre s'écrit de façon unique comme produit de nombres premiers.
L'outil teste la primalité et affiche la décomposition complète.
Comment ça marche
On teste les diviseurs de 2 jusqu'à la racine carrée du nombre, en divisant chaque fois que la division est exacte. Ce qui reste à la fin, s'il dépasse un, est également premier.
Le nombre de diviseurs découle des exposants de la factorisation.
Formule
n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … · pₖ^aₖ
Nombre de diviseurs : (a₁ + 1) · (a₂ + 1) · … · (aₖ + 1)
Exemple résolu
360 = 2³ × 3² × 5
Diviseurs : (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24
Ce n'est pas un nombre premier : il a plus de deux diviseurs.
Explication
Un n'est pas premier, et il y a une raison
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : un et lui-même. Le nombre un n'en a qu'un, il est donc exclu par définition. Si un était premier, la décomposition en facteurs premiers cesserait d'être unique.
Ils sont infinis, et Euclide l'a démontré
La preuve a plus de deux mille ans et reste élégante : s'il n'existait qu'un nombre fini de premiers, les multiplier tous et ajouter un donnerait un nombre divisible par aucun d'eux.
De la curiosité à l'infrastructure
Pendant des siècles, ce fut un jeu intellectuel sans application. Aujourd'hui la sécurité des communications en dépend : chiffrer est facile en multipliant deux énormes premiers ; déchiffrer sans la clé exigerait de factoriser le produit.
Ils se raréfient sans jamais s'épuiser
Plus on avance, plus ils s'espacent, mais ils ne cessent jamais d'apparaître.
Questions fréquentes
Le nombre 1 est-il premier ?
Non. Par convention 1 n’est pas premier, car l’admettre briserait l’unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Jusqu’à quel nombre fonctionne-t-il ?
Jusqu’à 2 000 000 000. Au-delà, la division d’essai serait trop lente dans un navigateur.
Pourquoi 1 n’est-il pas premier ?
Parce qu’un premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts, et un n’en a qu’un. L’inclure briserait aussi l’unicité de la décomposition.
À quoi servent les nombres premiers aujourd’hui ?
Ils fondent la cryptographie à clé publique.
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