Calculateur du plus petit commun multiple
Calculez le PPCM de plusieurs nombres pour additionner des fractions ou synchroniser des cycles.
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En bref
- Ce qu’il calcule
- Calculez le PPCM de plusieurs nombres pour additionner des fractions ou synchroniser des cycles.
- Formule appliquée
ppcm(a, b) = |a × b| / pgcd(a, b)- Exemple
- Exemple 1 : PPCM de 4, 6 et 10
Calculateur de PPCM
Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre qui soit multiple de toutes les valeurs saisies.
Il sert à additionner des fractions de dénominateurs différents et à savoir tous les combien deux cycles coïncident.
Comment ça marche
Il se déduit du plus grand commun diviseur : le produit de deux nombres divisé par leur PGCD donne le PPCM. Au-delà de deux valeurs, l'opération s'applique de façon cumulative.
Formule
ppcm(a, b) = |a × b| / pgcd(a, b)
ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c)
Exemple résolu
Exemple 1 : PPCM de 4, 6 et 10
1. ppcm(4, 6) = 24 / 2 = 12
2. ppcm(12, 10) = 120 / 2 = 60
Résultat : 60
Exemple 2 : PPCM de 8, 12 et 18 (dénominateur commun pour additionner 1/8 + 5/12 + 7/18)
Par décomposition en facteurs premiers :
8 = 2³ · 12 = 2² · 3 · 18 = 2 · 3²
On prend chaque facteur avec son plus grand exposant : 2³ · 3² = 8 · 9 = 72
Résultat : 72
Explication
Additionner des fractions exige un dénominateur commun
Un tiers plus un quart ne font pas deux septièmes. Il faut ramener les deux au même dénominateur, et le plus petit commun multiple de trois et quatre est douze.
Les engrenages et les cycles qui coïncident
Deux roues dentées de douze et dix-huit dents reviennent à leur position initiale toutes les trente-six dents. La même idée explique quand coïncident deux bus passant toutes les quinze et vingt minutes.
Relation avec le plus grand commun diviseur
Le produit de deux nombres égale toujours le produit de leur PGCD par leur PPCM. Cette identité permet de calculer l'un à partir de l'autre.
Les calendriers et les années bissextiles
Le cycle de vingt-huit ans après lequel le calendrier se répète découle de la combinaison des sept jours de la semaine et du cycle bissextil de quatre ans.
Questions fréquentes
Pourquoi le PPCM sert-il à additionner des fractions ?
Parce qu’il donne le plus petit dénominateur commun possible, ce qui évite des nombres inutilement grands.
Un des nombres peut-il être nul ?
Non. Zéro n’a pas d’autre multiple que lui-même, le PPCM n’est donc pas défini.
Comment calculer rapidement le PPCM ?
Multipliez les deux nombres et divisez par leur PGCD.
Quand coïncident deux bus passant toutes les 15 et 20 minutes ?
Toutes les soixante minutes, plus petit commun multiple de quinze et vingt.
Comment trouver le PPCM avec les facteurs premiers ?
Décomposez chaque nombre en facteurs premiers et multipliez chaque facteur élevé au plus grand exposant rencontré. Pour 8, 12 et 18, on garde 2³ et 3², soit 72.
Quel lien entre PPCM et PGCD ?
Pour deux nombres, PPCM × PGCD = a × b. Avec 12 et 18, le PGCD vaut 6, et 36 × 6 = 216 = 12 × 18.
Le PPCM peut-il être l’un des nombres ?
Oui, quand ce nombre est multiple de tous les autres. Le PPCM de 4, 8 et 16 est 16.
Sources et références
La formule de ce calculateur n’est pas de nous. Voici les sources dont elle provient, au format APA 7, si vous souhaitez consulter l’original ou les citer dans un travail.
- Weisstein, E. W. (s. f.). Least Common Multiple. MathWorld—A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html https://mathworld.wolfram.com/LeastCommonMultiple.html Définition du PPCM et de son lien avec le PGCD.
- Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms (3rd ed.). Addison-Wesley. Section 4.5.2 : l’algorithme d’Euclide, sur lequel repose le calcul du PPCM.
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