Combinaisons, arrangements et permutations
Comptez de combien de façons choisir ou ordonner des éléments, avec ou sans répétition.
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En bref
- Ce qu’il calcule
- Comptez de combien de façons choisir ou ordonner des éléments, avec ou sans répétition.
- Formule appliquée
C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)- Exemple
- Loto 6 parmi 49 : l'ordre est indifférent et sans répétition.
Calculateur de combinaisons et permutations
La différence entre les cinq dénombrements tient à deux questions : l'ordre compte-t-il, et un élément peut-il se répéter ?
Une fois ces deux points tranchés, la formule s'impose.
Comment ça marche
Si l'ordre est indifférent et sans répétition, ce sont des combinaisons. Si l'ordre compte, ce sont des arrangements. Quand on prend tous les éléments et que l'ordre compte, ce sont des permutations.
Formule
C(n,k) = n! / (k!·(n−k)!)
CR(n,k) = (n+k−1)! / (k!·(n−1)!)
A(n,k) = n! / (n−k)!
AR(n,k) = n^k
P(n) = n!
Exemple résolu
Loto 6 parmi 49 : l'ordre est indifférent et sans répétition.
C(49,6) = 49! / (6!·43!) = 13 983 816
C'est la probabilité de gagner : 1 sur près de 14 millions.
Explication
L'ordre détermine la formule
Si l'ordre compte, ce sont des arrangements : les trois premières places d'une course diffèrent selon qui arrive premier. S'il ne compte pas, ce sont des combinaisons : six numéros de loterie valent autant dans n'importe quel ordre.
Pourquoi la loterie est si improbable
Choisir six numéros parmi quarante-neuf donne près de quatorze millions de combinaisons. Cela explique pourquoi doubler le nombre de tickets ne change presque rien.
Le paradoxe des anniversaires
Dans un groupe de vingt-trois personnes, la probabilité que deux partagent un anniversaire dépasse cinquante pour cent. Ce qui croît vite n'est pas le nombre de personnes mais celui des paires possibles.
Avec ou sans répétition
Si un élément peut se répéter, comme dans un mot de passe, le calcul change du tout au tout.
Questions fréquentes
Quand utiliser des arrangements plutôt que des combinaisons ?
Quand l’ordre modifie le résultat. Un podium de trois parmi dix athlètes est un arrangement ; choisir trois finalistes est une combinaison.
Que sont les combinaisons avec répétition ?
Les cas où le même élément peut être choisi plusieurs fois, comme commander trois boules de glace parmi cinq parfums.
Quand utiliser combinaisons ou arrangements ?
Combinaisons si l’ordre n’importe pas, comme en loterie. Arrangements s’il importe, comme sur un podium.
Combien de combinaisons pour un 6 parmi 49 ?
Près de quatorze millions.
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